实现二分的两种不同方式，避免陷入死循环。

参考资料

二分法介绍

二分查找法主要是解决在“一堆数中找出指定的数”这类问题，这“一堆数”必须有以下特征：

存储在数组中
有序排列

思想

假设目标值在闭区间[l, r]中，每次将区间长度缩小一半，当l = r时，我们就找到了目标值。

二分和单调性的关系

有单调性的一定可以二分，但可以二分的不一定有单调性，即没有单调性也可以二分。

实现

方式

递归

int bsearch(int array[], int low, int high, int target)
{
    if (low > high) return -1;
    
    int mid = (low + high)/2;
    if (array[mid]> target)
        return    binarysearch(array, low, mid -1, target);
    if (array[mid]< target)
        return    binarysearch(array, mid+1, high, target);
    
    //if (midValue == target)
        return mid;
}

stack

int bsearchWithoutRecursion(int array[], int low, int high, int target)
{
    while(low <= high)
    {
        int mid = (low + high)/2;
        if (array[mid] > target)
            high = mid - 1;
        else if (array[mid] < target)
            low = mid + 1;
        else //find the target
            return mid;
    }
    //the array does not contain the target
    return -1;
}

整数二分实现

需要考虑边界问题，否则会陷入死循环。

版本1

当我们将区间[l, r]划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时，其更新操作是r = mid或者l = mid + 1;，计算mid时不需要加1。

int bsearch_1(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}

版本2

当我们将区间[l, r]划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时，其更新操作是r = mid - 1或者l = mid;，此时为了防止死循环，计算mid时需要加1。

int bsearch_2(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r + 1 >> 1;
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    return l;
}

浮点数二分实现

无需考虑边界问题。

找到一个区间[l, r], 使得答案一定在区间中。
找到一个判断条件，使得判断条件具有二段性，并且答案一定是该二段性的分界点。
分析中点mid = (l + r) / 2 在该判断条件下是否成立。
如果成立，考虑答案在哪个区间；
如果不成立，考虑答案在哪个区间。
确定更新方式r = mid 或 l = mid。

bool check(double x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质

double bsearch_3(double l, double r)
{
    const double eps = 1e-6;   // eps 表示精度，取决于题目对精度的要求
    while (r - l > eps)
    {
        double mid = (l + r) / 2;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid;
    }
    return l;
}

关于浮点数二分中区间精度的选取：

一般来说区间精度为1e-6就很高了。如果要求结果保留4位小数，那么精度可以取1e-6；如果要求结果保留5位小数，那么区间精度可以取1e-7。以此类推……

简言之，区间精度至少要比要保留的小数位数高2位。

理解二分法的不同实现