图论-过河问题及其变形

一个农夫带着一头狼、一头羊、一颗白菜过河。他面前只有一条船，只能容纳他和一件物品，只有农夫会划船。如果农夫不在场，狼会吃羊、羊会吃白菜，农夫在场则不会。求将所有物品运到对岸的方案。

图论-安全过河的最短路径问题

原博客

农夫过河问题

问题描述

一个农夫带着一头狼、一头羊、一颗白菜过河。他面前只有一条船，只能容纳他和一件物品，只有农夫会划船。如果农夫不在场，狼会吃羊、羊会吃白菜，农夫在场则不会。求将所有物品运到对岸的方案。

解题思路

根据物品的位置定义状态，若在左岸记为1，右岸记为0，于是最终方案就是(1,1,1,1)–>(0,0,0,0)所经过的路径。

1、定义状态

2、列举所有状态（人、狼、羊、菜）

3、删除不合理的状态（狼和羊、羊和菜）

4、连边（模拟一次渡河）

5、寻找路径

寻找(1111)–>(0000)的边，可以用寻路算法如bfs、dfs,如果要求最短路可以用最短路算法如bfs、Dijsktra等，当然这里图很简单，可直接观察出来。

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(1111)-->(0101)-->(1101)-->(0001)-->(1011)-->(0010)-->(1010)-->(0000)（两条最短路之一）
       左岸                                 右岸
1、人  狼  羊 花                           空
2、狼  花                                 人 羊
3、人  狼 花                               羊
4、花                                     人 狼  羊
5、人  羊  花                              狼
6、羊                                     人 花  狼
7、人 羊                                  狼 花
8、空                                     狼 花 人 羊

传教士与吃人恶魔的问题

问题描述

有三个传教士和三个吃人恶魔要渡过一条河，河中有一条船，只能装下两个人。在任何地方（无论是岸边还是船上），如果吃人恶魔数量多于传教士数量，吃人恶魔就会吃掉传教士。问：怎么才能让这些都安全过河？

解题思路

1、定义状态

2、列举所有状态

3、删除不合理状态

4、连边（模拟依次渡河变化）

5、寻找路径

寻找(33 L 00)–>(00 R 33)的路径

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其中一条路径
(33 L 00)-->(31 R 01)-->(32 L 01)-->(30 R 03)-->(31 L 02)-->(11 R 22)-->(22 L 01)-->(02 R 31)-->(03 L 30)-->(01 R 32)-->(02 L 31)-->(00 R 33)
1、两个吃人恶魔过河
2、一个吃人恶魔回来
3、两个吃人恶魔过河
4、一个吃人恶魔回来
5、两个传教士过河
6、一个传教士和一个吃人恶魔回来
7、两个传教士回来
8、一个吃人恶魔回去
9、两个吃人恶魔过河
10、一个吃人恶魔回去
11、两个吃人恶魔过河

四人过桥问题

问题描述

在一个漆黑的夜里，四位旅游者来到一座狭窄而没有护栏的桥边，如果不借助手电筒的话，大家是无论也不敢过去。不幸的是四个人中只有一只手电筒，而桥窄得只够两个人同时通过。如果各自单独过桥得话，四个人所需要的时间分别是1、2、5、10分钟，如果两个人同时过桥，所需要的时间是较慢的那个人单独行动时的时间。问：如何设计一个方案，让四个人尽快过桥。

解题思路

与前面两个相比，这次不仅要求方案，同时要求时间最短。

同样需要定义状态，四个人+手电筒的位置

1、定义状态

2、建图

分为每次通过一个人和每次两个人，都是带权无向边。

(下面只连接了与(01111)的边)

3、寻找最短路

寻找(L 1111)–>(R 0000)的最短路，即最短路算法中(01111)–>(10000)的最短路，以下是利用Dijstra算法的解决方法。

最终答案为(2 + 1 + 10 + 2 + 2) = 17.

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#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<string>
#include<queue>
#include<algorithm>
using namespace std;

//定义图中结点
struct Node
{
    int u, d;            //该节点的编号与距离
    bool operator < (const Node x) const
    {
        return  d > x.d;
    }
};

//边结构体的定义
struct Edge
{
    int to;
    int w;
    int next;
};

const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int V = 32 + 10;
const int E = 32 * 32 + 10;
int dis[V];            //源到各顶点的最短距离
int vis[V];            //记录是否被收录，用来代替集合S
int head[V];          //head[i]表示顶点i的第一条边的数组下标，"-1"表示顶点i没有边
Edge edge[E];

inline void AddEdge(int a, int b, int w, int id)
{
    edge[id].to = b;
    edge[id].w = w;
    edge[id].next = head[a];
    head[a] = id;
    return;
}

//s为起点
void Dijsktra(int s)
{
    priority_queue<Node>q;            //取出集合T中的最小值
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    memset(dis, INF, sizeof(dis));

    dis[s] = 0;
    q.push(Node{ s, dis[s] });
    while (!q.empty())
    {
        Node x = q.top(); q.pop();
        int u = x.u;

        if (vis[u])    continue;

        vis[u] = true;
        for (int i = head[u]; i != -1; i = edge[i].next)    //松弛与u直接相邻的顶点
        {
            int v = edge[i].to;
            int w = edge[i].w;
            if (!vis[v] && dis[u] + w < dis[v])
            {
                dis[v] = dis[u] + w;
                q.push(Node{ v,dis[v] });
            }
        }
    }
}

const int score[] = { 1,2,5,10 };   //每个人单独行动的时间

int main()
{
    //建图
    memset(head, -1, sizeof(head));
    int id = 0;
    for (int i = 0; i < (1 << 4); i++)
    {
        int bits[4];
        for (int j = 0; j < 4; j++)  bits[j] = (i >> j) & 1;
        //一次走一个人
        for (int j = 0; j < 4; j++)  if (bits[j])
        {
            int tmp = i - (1 << j) + 16;
            int w = score[j];
            AddEdge(i, tmp, w, id++);
            AddEdge(tmp, i, w, id++);
        }
        //一次走两个人
        for(int j = 0;j < 3;j++)
            for (int k = j + 1; k < 4; k++)   if (bits[j] && bits[k])
            {
                int tmp = i - (1 << j) - (1 << k) + 16;
                int w = max(score[j],score[k]);
                AddEdge(i, tmp, w, id++);
                AddEdge(tmp, i, w, id++);
            }
    }
    Dijsktra(15);
    printf("%d\n", dis[16]);

    return 0;
}

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